1. Définitions équivalentes
- Avec les normes et l'angle : u·v = ‖u‖·‖v‖·cos θ.
- Avec la projection : AB·AC = AB·AH, H projeté orthogonal de C sur (AB) (signe selon le sens).
- Avec les normes : u·v = ½(‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²).
- Analytique (repère orthonormé) : u(x, y), v(x', y') ⇒ u·v = xx' + yy'.
2. Propriétés utiles
- Symétrie et bilinéarité : u·(v + w) = u·v + u·w.
- u·u = ‖u‖², donc ‖u‖ = √(x² + y²).
- Orthogonalité : u·v = 0.
- Identités : (u + v)² = ‖u‖² + 2u·v + ‖v‖².
3. Applications en géométrie analytique
- Droite de vecteur normal n(a, b) : ax + by + c = 0.
- Distance d'un point M(x₀, y₀) à la droite : |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²).
- Cercle de centre Ω(a, b) et de rayon r : (x − a)² + (y − b)² = r².
- M appartient au cercle de diamètre [AB] ⇔ MA·MB = 0.
4. Exemple corrigé
Exemple — A(1, 2), B(4, 3), C(2, 5). AB(3, 1), AC(1, 3). AB·AC = 3×1 + 1×3 = 6. ‖AB‖ = ‖AC‖ = √10, donc cos(Â) = 6/10 = 0,6.
5. Pièges fréquents
- Utiliser xx' + yy' dans un repère non orthonormé.
- Oublier le signe dans la formule avec projection.
- Confondre vecteur normal et vecteur directeur d'une droite.