1. Définition et existence
- Pour des points pondérés (A, a), (B, b), (C, c) avec a + b + c ≠ 0, il existe un unique point G tel que a·GA + b·GB + c·GC = 0 (vecteur nul).
- Si a + b + c = 0, le barycentre n'existe pas.
- Isobarycentre de A et B : le milieu de [AB].
2. Propriétés
- Homogénéité : multiplier tous les coefficients par k ≠ 0 ne change pas G.
- Réduction : pour tout M, a·MA + b·MB + c·MC = (a + b + c)·MG.
- Associativité : on peut remplacer deux points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients.
3. Coordonnées
xG = (a·xA + b·xB + c·xC) / (a + b + c), et de même pour yG.
4. Exemple corrigé
Exemple — G barycentre de (A, 1) et (B, 3) : AG = (3/4)·AB. Avec A(0, 0) et B(4, 8) : G(3, 6).
5. Pièges fréquents
- Vérifier que la somme des coefficients n'est pas nulle.
- Inverser les coefficients dans AG = (b/(a+b))·AB.
- Oublier de diviser par la somme des coefficients.