1. Dénombrement
| Situation | Nombre de possibilités |
|---|---|
| Tirages successifs avec remise de p éléments parmi n | nᵖ |
| Tirages successifs sans remise (arrangements) | Aₙᵖ = n! / (n − p)! |
| Tirage simultané (combinaisons) | Cₙᵖ = n! / (p!(n − p)!) |
| Permutations de n éléments | n! |
2. Probabilités : règles de base
- 0 ≤ p(A) ≤ 1 ; p(Ω) = 1 ; p(∅) = 0.
- p(Ā) = 1 − p(A).
- p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B).
- Astuce : « au moins un » → passer par l'événement contraire.
Exemple — Une urne contient 4 boules rouges et 3 vertes ; on tire simultanément 2 boules. card(Ω) = C₇² = 21. p(2 rouges) = C₄² / 21 = 6/21 = 2/7.
3. Probabilités conditionnelles
p_A(B) = p(A ∩ B) / p(A) avec p(A) ≠ 0.
Formule des probabilités totales : si (A₁, …, Aₙ) est une partition de Ω, p(B) = Σ p(Aᵢ) × p_Aᵢ(B).
Exemple — 70 % des élèves révisent régulièrement ; parmi eux 80 % réussissent, contre 40 % chez les autres. p(R) = 0,7 × 0,8 + 0,3 × 0,4 = 0,56 + 0,12 = 0,68.
4. Variable aléatoire
- Loi de X : tableau des valeurs xᵢ et des probabilités p(X = xᵢ), de somme 1.
- Espérance : E(X) = Σ xᵢ·p(X = xᵢ).
- Variance : V(X) = E(X²) − (E(X))² ; écart-type σ(X) = √V(X).
5. Loi binomiale
On répète n fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues (succès de probabilité p). X = nombre de succès suit B(n, p).
Exemple — On lance 4 fois un dé ; X = nombre de 6. p(X = 2) = C₄² × (1/6)² × (5/6)² = 6 × 25/1296 = 150/1296 ≈ 0,116. E(X) = 4 × 1/6 = 2/3.