1. Forme algébrique et conjugué
- z = a + ib avec a = Re(z), b = Im(z).
- z̄ = a − ib ; z + z̄ = 2Re(z) ; z − z̄ = 2i·Im(z).
- z·z̄ = a² + b² = |z|².
- Conjugué d'une somme, d'un produit, d'un quotient = somme, produit, quotient des conjugués.
Exemple — Écrire 1/(1 + i) sous forme algébrique : on multiplie par le conjugué → (1 − i)/((1 + i)(1 − i)) = (1 − i)/2 = 1/2 − i/2.
2. Module et argument
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Module | |z| = √(a² + b²) |
| Produit | |zz'| = |z|·|z'| ; arg(zz') ≡ arg z + arg z' [2π] |
| Quotient | |z/z'| = |z|/|z'| ; arg(z/z') ≡ arg z − arg z' [2π] |
| Puissance | |zⁿ| = |z|ⁿ ; arg(zⁿ) ≡ n·arg z [2π] |
| Conjugué | |z̄| = |z| ; arg z̄ ≡ −arg z [2π] |
3. Formes trigonométrique et exponentielle
z = r(cos θ + i sin θ) = r·e^(iθ), avec r = |z| > 0 et θ un argument de z.
Formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).
Formules d'Euler : cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ))/2 et sin θ = (e^(iθ) − e^(−iθ))/(2i).
Exemple — z = 1 + i : |z| = √2, cos θ = sin θ = √2/2 donc θ = π/4. Ainsi z = √2·e^(iπ/4) et z⁸ = (√2)⁸·e^(i2π) = 16.
4. Équations du second degré
Pour az² + bz + c = 0 (a, b, c réels), Δ = b² − 4ac. Si Δ < 0 : z = (−b ± i√(−Δ)) / (2a).
Exemple — z² − 2z + 5 = 0 : Δ = 4 − 20 = −16, donc z = (2 ± 4i)/2, soit z₁ = 1 + 2i et z₂ = 1 − 2i.
5. Nombres complexes et géométrie
- Distance AB = |z_B − z_A|.
- Angle orienté (AB→, AC→) ≡ arg((z_C − z_A)/(z_B − z_A)) [2π].
- Translation : z' = z + b ; homothétie de centre Ω et rapport k : z' − ω = k(z − ω).
- Rotation de centre Ω et d'angle θ : z' − ω = e^(iθ)(z − ω).
- A, B, C alignés ⇔ (z_C − z_A)/(z_B − z_A) est réel.