1. Continuité
Définition
f est continue en a si lim(x→a) f(x) = f(a). Continuité à droite / à gauche : même limite à droite / à gauche.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Si f est continue sur [a ; b], tout réel k compris entre f(a) et f(b) admet au moins un antécédent dans [a ; b]. Si de plus f est strictement monotone, cet antécédent est unique.
Image d'un intervalle
Si f est continue et strictement croissante sur [a ; b], alors f([a ; b]) = [f(a) ; f(b)] ; si elle est strictement décroissante, f([a ; b]) = [f(b) ; f(a)].
Exemple — Montrer que x³ + x − 1 = 0 a une unique solution α dans ]0 ; 1[ : f est continue et strictement croissante sur [0 ; 1] (f'(x) = 3x² + 1 > 0), f(0) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0, donc d'après le TVI, α existe et est unique.
2. Dérivées usuelles
| f(x) | f'(x) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| xⁿ (n entier ≥ 1) | n xⁿ⁻¹ | ℝ |
| 1/x | −1/x² | ℝ* |
| √x | 1/(2√x) | ]0 ; +∞[ |
| ln x | 1/x | ]0 ; +∞[ |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| sin x | cos x | ℝ |
| cos x | −sin x | ℝ |
| tan x | 1 + tan² x | x ≠ π/2 + kπ |
3. Opérations sur les dérivées
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| u + v | u' + v' |
| k·u | k·u' |
| u·v | u'v + uv' |
| u/v | (u'v − uv') / v² |
| uⁿ | n u' uⁿ⁻¹ |
| √u | u' / (2√u) |
| ln u | u' / u (u > 0) |
| eᵘ | u' eᵘ |
| u∘v | v' × (u'∘v) |
4. Fonction réciproque
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, elle réalise une bijection de I sur J = f(I). Sa réciproque f⁻¹ a le même sens de variation.
Si f est dérivable en a et f'(a) ≠ 0, alors f⁻¹ est dérivable en b = f(a) et (f⁻¹)'(b) = 1 / f'(a).
5. Interprétation et tangente
- Tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a).
- f'(a) = 0 avec changement de signe : extremum local.
- Limite du taux d'accroissement infinie : tangente verticale (fonction non dérivable).